Números Reales

 Operaciones con fracciones

Introducción a los números reales

Números racionales:

Son todos aquellos que se pueden poner en forma de fracción. Cualquier número decimal con un número finito de cifras o con infinitas cifras periódicas se puede poner en forma de fracción.

Halla una expresión decimal para las siguientes fracciones:

                                                               

                  

Encuentra las fracciones equivalentes para los siguientes números decimales:

   

Dado los siguientes números :

 

Di cuáles son:

a) Reales

b) Irracionales
c) Racionales
d) Naturales
e) Enteros

 

 

 

Escribe las aproximaciones por defecto de los números: 

 

para que el error cometido sea menor de:

Una décima

Una milésima

Escribe las aproximaciones por exceso de décima, centésima y milésima de los números anteriores.

Recta Real

Podemos dibujar una recta de forma que a cada número real le corresponda un punto y al revés que a cada punto le corresponda un numero.

 

Representación de los números reales: Intervalos

 

Dado un número  cualquiera, podemos representar todos los números reales mayores que ese número por un intervalo abierto por los dos lados, por medio de desigualdades o dibujándolos en la recta.

 

De la misma forma se pueden representar los números comprendidos entre – 3 y 1, es decir los números más grandes que -3 y más pequeños que 1 Si en vez de estrictamente menor fuera menor o igual los extremos pertenecen al intervalo y éste se llama cerrado.

 

También puede haber intervalos abiertos por la derecha y cerrados por la izquierda y al revés. 

 

Cuando uno de los extremos es infinito el intervalo siempre es abierto

Potencias y radicales

  Aritmética: potencias

Potencias con exponente entero

Ejercicios

Simplífica las siguientes expresiones

1)

 
   

2)

    

3)

    

4)

  

5)   Reescribe las siguientes potencias de forma que no haya exponentes negativos.

    

6)

7) Simplifica

 

8) Realiza las siguientes operaciones

9

Potencias con exponente fraccionario

Una raíz no es más que una potencia con exponente fraccionario escrita de otra forma, por tanto tienen las misma propiedades que las potencias.

1 Calcula:

2 Halla el valor de x

 

Simplificar potencias:

 

3 Simplifica los siguientes radicales:

 

 

 

4  Escribe como potencias de exponente racional:

 

 

5)  Halla el valor de las siguientes potencias:

 

Introducción de factores dentro de una raíz.

En algunos casos cuando tenemos una raíz multiplicada por uno o varios factores, nos puede interesar introducirlos dentro de la raíz. Para ello elevamos los factores que queremos introducir al índice de la raíz y lo ponemos dentro.

Ejemplos:

 

I)

II)

 

 

Extracción de factores en un radical

Es el proceso inverso al anterior, para poder sacar factores de la raíz estos tienen que estar elevado a un exponente mayor que el índice y se descomponen en producto de factores con exponentes divisibles por el índice. Para sacarlos se divide el exponente por el índice.

 

Multiplicación y divison de radicales

Si tienen el mismo índice se multiplican o dividen los radicandos y se queda el mismo índice. Del resultado se extraen fuera de la raíz los factores que se puedan.




Si tienen distinto índice se transforman primero en  radicales semejantes con índice común.

 

 

División de radicales:

 

Suma de radicales: No se pueden sumar lo único que podemos hacer es agrupar los que son iguales.

 

 

 

6 Expresa en forma de potencias de exponente entero positivo.

 

7 Calcula y simplifica:

 

 

8   Calcula

9-a Extrae factores fuera de la raíz

9-b

10

---

11  Introduce factores dentro de la raíz

12 Simplifica todo lo que puedas

13 Calcula:

14 Calculad:

15

16

17

18

19 Extrae fuera de la raíz

 

20 Calcula

21 Escribe con exponente fraccionario.

22 Racionaliza

23 Simplifica

24

Ecuaciones irracionales

1

2

3

1

Inecuaciones segundo grado

Soluciones.

Logaritmos

 

Desarrollo histórico.

Los logaritmos aparecen en matemáticas con el único fin de reducir en un grado las operaciones y facilitar el trabajo de los calculistas. Su principal propiedad es:

Llamamos logaritmo de un número a en una base determinada b al número que hay que elevar la base para que nos de el número a

 

Calcula a partir de la definición de logaritmo:

 

Halla el valor de x:

 

 

Ejercicios

1

Calcula:

2

3 Halla el valor de x

4

Sabiendo que :

   

calcula:

5

Halla el valor de x

6

Halla el valor de x con ayuda de la calculadora

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1   Halla el valor de x

2 Resuelve y comprueba el resultado:

   

3 Halla el valor de x

5 Resuelve y comprueba el resultado