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Aritmética


    





Operaciones elementales con números enteros

 .

I


II





III




IV


V




VI







 


   

Problemas


  1. Si los sellos de una colección se colocan en filas de 5 sobra uno y si se colocan en filas de 7 faltan 2 ¿Cuántos sellos hay si son más de 50 y menos de 90?.
  2. En una comida de empresa se sirve un plato de ensalada para cada 4, un plato de entrantes para cada tres y un plato con pescado para cada dos. Sí en total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántas personas había.?
  3. Un niño puede colocar todas sus canicas en montones de 4 y en montones de 6 sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas tiene, sy son más de 40 y menos de 50?
  4. Las canicas de Antonio son menos de 50 si las coloca de 9 en 9 no sobra ninguna y si las coloca de 11 en 11 sobra una. ¿Cuántas tiene.?
  5. Los huevos se venden en paquetes de docena y media docena. ¿Se pueden comprar exactamente 50 huevos? ¿Cuántos tendremos que comprar si necesitamos un mínimo de 50?
  6. De una ciudad salen vuelos hacia Atenas cada 5 días, hacia Berlín cada 12 días y hacia Lisboa cada 20. Si coindicen los tres vuelos el 1 de Enero ¿Cuántos días más coincidirán a lo largo del año.




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Fracciones


Una fracción es una división indicada entre dos números: el numerador dividido por el denominador.



Fracción: División indicada

   A cada fracción le corresponde un número decimal que sería el resultado de realizar la división:

  

El hecho de que el número decimal al que equivale la fracción puede ser demasiado complejo hace preferible trabajar con fracciones y no con sus expresiones decimales.

  Fracciones equivalentes:

 Si en una fracción multiplicamos el numerador y denominador por un mismo número el resultado de la división será el mismo y a las fracciones les llamamos equivalentes.

 

 

Simplificar fracciones:

 Obtener fracciones equivalentes dividiendo el numerador y denominador por divisores comunes, cuando ya no hay más divisores comunes la fracción se llama irreducible.

 

 

 

Más rápidamente: descomponiendo en factores:

 


 Fracciones Wikipedia


Suma de fracciones      

1 Con el mismo denominador:         

Para sumar o restar fracciones que tienen el mismo denominador se suman o restan los dnominadores y se queda el mismo numerador:


 2  Suma y resta de fracciones con distinto denominador.

 

No se pueden  sumar o restar sin convertirlas previamente en fracciones equivalentes con el mismo denominador.







3  Multiplicación y división de fracciones:

 

Cuando multiplicamos el numerador de una fracción por un número entero la fracción queda multiplicada por ese número. Si multiplicamos el denominador la fracción queda dividida por el número.

 



Cuando dividimos el numerador de la fracción por un número, la fracción queda dividida por ese número. Si dividimos el denominador por un numero toda la fracción queda multiplicada por ese número

 



 

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar una fracción por un número entero se multiplica el numerador por ese número, también se puede dividir el denominador por el número dado.



División de fracciones:

 

Dividir una fracción por un número entero es los mismo que dividir el numerador por el número entero  o multiplicar el denominador de la fracción por ese número.

 



 


Para multiplicar una fracción por otra, se multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

 



Fracción inversa


 

Una fracción es inversa de otra cuando su producto es igual a 1

Los pares de fracciones siguientes son inversas:

 

 

 




Para dividir una fracción por otra dada se multiplica la fracción por la inversa de la dada.

 

 



Ejercicios:


1)


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2)


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3)


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4


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5)




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6)




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7)






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8)



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9)



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Razón y proporcionalidad.


 Cuando estamos hablando de razón de dos números no es mas que uno dividido por el otro. Una razón es una forma de comparar dos cantidades.  Una razón se puede expresar de estas formas:
 
El primer término se llama antecedente y el segundo consecuente. A toda razón le podemos asociar un número r igual al resultado de la división. Ejemplos de razones: Velocidad media:



Razón entre la distancia recorrida  por un móvil d y el tiempo empleado t. 
 
Para un ángulo de un triángulo rectángulo: Cociente del cateto contiguo y la hipotenusa. 



 
Las razones tienen las mismas propiedades que las fracciones, por tanto se pueden simplificar o amplificar. La velocidad media de un coche será la misma si recorre 150 km. en dos horas quesi recorre 300 km. en cuatro horas.   Un porcentaje es una razón, el tanto por 100 es una razón donde el consecuente es 100. 



 Proporción






Una proporción es una igualdad de razones. El primero y el cuarto término de la proporción se llaman extremos y el segundo y tercero medios.
En la proporción anterior a y d son los extremos y b y c los medios.

Propiedades de las proporciones.


El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.
Un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.

Inverso de una razón.

Inversa de una razón es uno dividido por esa razón. Si dos razones forman proporción también lo forman sus inversas.

Cantidades proporcionales entre sí.


Dos cantidades son proporcionales entre sí, cuando están relacionadas de tal forma que a un valor de una le corresponde cierto valor de al otra y si el valor de una se multiplica o divide por un término cualquiera, el valor de la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Pensemos por ejemplo en cierta cantidad de botellas de agua de 8 litros. Las cantidades número de botellas y litros de agua son proporcionales. Si el número de botellas se reduce a la mitad, tercera o quinta parte, los litros de agua quedan reducidos a la mitad, tercera o quinta parte.

Resolución de problemas.


En la aplicación de las proporciones a la resolución de problemas se dan tres de los términos por medio de los cuales debe hallarse el otro. El términos que se busca se llama incógnita y se representa por x.
Como en estos problemas se dan tres términos el método para resolverlos se llama regla de tres.


Calculo de la cuarta proporcional. Ejercicios resueltos hallad el valor de x en las proporciones siguientes:      









  1. Si un kilogramo de azafrán cuesta 15000 € ¿Cuánto costarán 200 gr.?
  2. Doce kilos de patatas cuestan 18 euros ¿Cuántos kilos se podrán comprar con 25€?
  3. Se ha estimado que en el peso de un perro callejero, el 12% son pulgas y el 18% garrapatas.Si el peso de un perro es de 30 kg. ¿Cuál es el peso de las pulgas y garrapatas?.
  4. El censo electoral de un país consta de 400000 electores. En unas elecciones la cuarta parte votó a la oposición, la tercera al partido colorado aliado del gobierno y la mitad al partido del gobierno.¿Qué porcentaje y número de votos obtuvo cada partido?¿Qué se puede decir de su sistema de gobierno?
  5. Para hallar la altura de una torre Paco mide su sombra que es de 70 m. y la sombra de un palo de 2 m. a la misma hora siendo esta de 3,5 m. ¿Cuál es la altura de la torre?

Proporcionalidad inversa.

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando están relacionadas de tal forma que si una se multiplica o divide por un número cualquiera la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Supongamos que cierto número de hombres necesitan cierto número de días para hacer una obra. Está claro que si reducimos los hombres a la mitad se necesitará el doble de días y que si multiplicamos estos por tres, el número de días quedará dividido por tres. Por tanto el número de días y el número de hombres son cantidades inversamente proporcionales.




Proporcionalidad inversa. Problemas

 

Un caño con un caudal de 15 litros por segundo llena un estanque en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría si el caudal fuera de 3 litros segundo.?

 

 


Reducción a la unidad:



  
    
 En hacer cierto recorrido un coche a 70 km/h invierte 2,5 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría si fuera a 120 km/h. 

Proporcionalidad compuesta o múltiple

Un granjero puede alimentar con 60 kg. de pienso a 4 ovejas durante 10 días. ¿Cuantos kilos necesitaría para alimentar a 6 ovejas durante 15 días?

Reducimos el problema a dos de proporcionalidad simple.

 





 








 

Resolución por reducción a la unidad: se trata de saber cuánto come una oveja en un día.