Operaciones elementales con números enteros

I

II

III

IV

V

VI

Problemas

Si los sellos de una colección se colocan en filas de 5 sobra uno y si se colocan en filas de 7 faltan 2 ¿Cuántos sellos hay si son más de 50 y menos de 90?.
En una comida de empresa se sirve un plato de ensalada para cada 4, un plato de entrantes para cada tres y un plato con pescado para cada dos. Sí en total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántas personas había.?
Un niño puede colocar todas sus canicas en montones de 4 y en montones de 6 sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas tiene, sy son más de 40 y menos de 50?
Las canicas de Antonio son menos de 50 si las coloca de 9 en 9 no sobra ninguna y si las coloca de 11 en 11 sobra una. ¿Cuántas tiene.?
Los huevos se venden en paquetes de docena y media docena. ¿Se pueden comprar exactamente 50 huevos? ¿Cuántos tendremos que comprar si necesitamos un mínimo de 50?
De una ciudad salen vuelos hacia Atenas cada 5 días, hacia Berlín cada 12 días y hacia Lisboa cada 20. Si coindicen los tres vuelos el 1 de Enero ¿Cuántos días más coincidirán a lo largo del año.

Fracciones

Una fracción es una división indicada entre dos números: el numerador dividido por el denominador.

Fracción: División indicada

A cada fracción le corresponde un número decimal que sería el resultado de realizar la división:

El hecho de que el número decimal al que equivale la fracción puede ser demasiado complejo hace preferible trabajar con fracciones y no con sus expresiones decimales.

Fracciones equivalentes:

Si en una fracción multiplicamos el numerador y denominador por un mismo número el resultado de la división será el mismo y a las fracciones les llamamos equivalentes.

Simplificar fracciones:

Obtener fracciones equivalentes dividiendo el numerador y denominador por divisores comunes, cuando ya no hay más divisores comunes la fracción se llama irreducible.

Más rápidamente: descomponiendo en factores:

Fracciones Wikipedia

Suma de fracciones

1 Con el mismo denominador:

Para sumar o restar fracciones que tienen el mismo denominador se suman o restan los dnominadores y se queda el mismo numerador:

2 Suma y resta de fracciones con distinto denominador.

No se pueden sumar o restar sin convertirlas previamente en fracciones equivalentes con el mismo denominador.

3 Multiplicación y división de fracciones:

Cuando multiplicamos el numerador de una fracción por un número entero la fracción queda multiplicada por ese número. Si multiplicamos el denominador la fracción queda dividida por el número.

Cuando dividimos el numerador de la fracción por un número, la fracción queda dividida por ese número. Si dividimos el denominador por un numero toda la fracción queda multiplicada por ese número

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar una fracción por un número entero se multiplica el numerador por ese número, también se puede dividir el denominador por el número dado.

División de fracciones:

Dividir una fracción por un número entero es los mismo que dividir el numerador por el número entero o multiplicar el denominador de la fracción por ese número.

Para multiplicar una fracción por otra, se multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

Fracción inversa

Una fracción es inversa de otra cuando su producto es igual a 1

Los pares de fracciones siguientes son inversas:

Para dividir una fracción por otra dada se multiplica la fracción por la inversa de la dada.

Ejercicios:

Razón y proporcionalidad.

Cuando estamos hablando de razón de dos números no es mas que uno dividido por el otro. Una razón es una forma de comparar dos cantidades. Una razón se puede expresar de estas formas:

El primer término se llama antecedente y el segundo consecuente. A toda razón le podemos asociar un número r igual al resultado de la división. Ejemplos de razones: Velocidad media:

Razón entre la distancia recorrida por un móvil d y el tiempo empleado t.

Para un ángulo de un triángulo rectángulo: Cociente del cateto contiguo y la hipotenusa.

Las razones tienen las mismas propiedades que las fracciones, por tanto se pueden simplificar o amplificar. La velocidad media de un coche será la misma si recorre 150 km. en dos horas quesi recorre 300 km. en cuatro horas. Un porcentaje es una razón, el tanto por 100 es una razón donde el consecuente es 100.

Proporción

Una proporción es una igualdad de razones. El primero y el cuarto término de la proporción se llaman extremos y el segundo y tercero medios.
En la proporción anterior a y d son los extremos y b y c los medios.

Propiedades de las proporciones.

El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.
Un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.

Inverso de una razón.

Inversa de una razón es uno dividido por esa razón. Si dos razones forman proporción también lo forman sus inversas.

Cantidades proporcionales entre sí.

Dos cantidades son proporcionales entre sí, cuando están relacionadas de tal forma que a un valor de una le corresponde cierto valor de al otra y si el valor de una se multiplica o divide por un término cualquiera, el valor de la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Pensemos por ejemplo en cierta cantidad de botellas de agua de 8 litros. Las cantidades número de botellas y litros de agua son proporcionales. Si el número de botellas se reduce a la mitad, tercera o quinta parte, los litros de agua quedan reducidos a la mitad, tercera o quinta parte.

Resolución de problemas.

En la aplicación de las proporciones a la resolución de problemas se dan tres de los términos por medio de los cuales debe hallarse el otro. El términos que se busca se llama incógnita y se representa por x.
Como en estos problemas se dan tres términos el método para resolverlos se llama regla de tres.

Calculo de la cuarta proporcional. Ejercicios resueltos hallad el valor de x en las proporciones siguientes:

Si un kilogramo de azafrán cuesta 15000 € ¿Cuánto costarán 200 gr.?
Doce kilos de patatas cuestan 18 euros ¿Cuántos kilos se podrán comprar con 25€?
Se ha estimado que en el peso de un perro callejero, el 12% son pulgas y el 18% garrapatas.Si el peso de un perro es de 30 kg. ¿Cuál es el peso de las pulgas y garrapatas?.
El censo electoral de un país consta de 400000 electores. En unas elecciones la cuarta parte votó a la oposición, la tercera al partido colorado aliado del gobierno y la mitad al partido del gobierno.¿Qué porcentaje y número de votos obtuvo cada partido?¿Qué se puede decir de su sistema de gobierno?
Para hallar la altura de una torre Paco mide su sombra que es de 70 m. y la sombra de un palo de 2 m. a la misma hora siendo esta de 3,5 m. ¿Cuál es la altura de la torre?

Proporcionalidad inversa.

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando están relacionadas de tal forma que si una se multiplica o divide por un número cualquiera la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Supongamos que cierto número de hombres necesitan cierto número de días para hacer una obra. Está claro que si reducimos los hombres a la mitad se necesitará el doble de días y que si multiplicamos estos por tres, el número de días quedará dividido por tres. Por tanto el número de días y el número de hombres son cantidades inversamente proporcionales.

Proporcionalidad inversa. Problemas

Un caño con un caudal de 15 litros por segundo llena un estanque en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría si el caudal fuera de 3 litros segundo.?

Reducción a la unidad:

En hacer cierto recorrido un coche a 70 km/h invierte 2,5 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría si fuera a 120 km/h.

Proporcionalidad compuesta o múltiple

Un granjero puede alimentar con 60 kg. de pienso a 4 ovejas durante 10 días. ¿Cuantos kilos necesitaría para alimentar a 6 ovejas durante 15 días?

Reducimos el problema a dos de proporcionalidad simple.

Resolución por reducción a la unidad: se trata de saber cuánto come una oveja en un día.

Una obra determinada la realizaron 15 obreros trabajando 6 horas diarias durante 30 días. ¿Cuánto tiempo tardarían 10 obreros trabajando 8 horas diarias.?

Tres albañiles hacen 4 m. de pared en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardarían en hace una pared de 20 m. 8 albañiles.?

El número de de metros es una magnitud directamente proporcional al número de horas pero el número de albañiles es inversamente. Proporcional.

Más general

Media proporcional

Se llama proporción continua aquella cuyos términos medios son iguales. El termino medio se llama media proporcional entre los extremos.

Calcular la media proporcional de 5 y 45:

Problemas

En un depósito que caben 120 l. hay en este momento 80 l. Que fracción del depósito esá lleno.
En una reunión de 20 alumnos, hay 10 morenos, 5 rubios y el resto pelirojos. ¿Qué fracción de pelirrojos hay?.
solucionw
En un depósito con capacidad de 180 l. hay 80 l. ¿Qué fracción del depósito está vacía?
En una clase con 20 alumnos 16 son chicas ¿Qué fracción de chicos hay? ¿Y de chicas?.
Una caja de bolígrafos cuesta 60 € si compramos los 3/5 partes de la caja. ¿Cuánto tendremos que pagar?
¿Cuántos minutos son 7/12 de una hora?
Por cada 15 € del precio total de un artículo nos descuentan 3 €.¿ A qué fracción equivale el descuento.?. Si el precio total fuera 70 € ¿Cuál sería el descuento? ¿Qué fracción del total tenemos que pagar?
Una caja de lápices cuesta 70 €. Después de comprar una parte de ella queda 1/5 del total. ¿Cuánto tenemos que pagar?
Tres amigas compran un billete de lotería. Ana pone 9 €, Basilisa 7 € y Cándida 4 € ¿Qué fracción de billete ha pagado cada una?.
El billete resulto premiado con 16000 € ¿Qué cantidad le correspondió a Cándida.?
De un estanque se sacan las 3/5 partes, después la mitad de lo que quedaba. Al final hay 16.000 litros. ¿Cuántos litros había?
¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se necesitan para embotellar 600 litros de vino?
El paso de una persona es de 4/5 de metro.

Distancia que recorrerá con 1000 pasos.
¿Cuántos pasos tendrá que dar para recorrer un Km.?

Para recorrer un determinado trayecto un coche hace 3/8 del recorrido por la mañana, 2/3 de lo que le queda por la tarde, quedando 80 Km. para el día siguiente. ¿Cuál es la lingitud total del recorrido?.
De un depósito de 1000 litros se han sacado primero 1/5 y después 3/4 del total. ¿Cuántos litros quedan?.
De un instituto de 1200 alumnos van a clase en autobús el 60% ¿Cuántos alumnos son?.
De un depósito lleno se ha sacado los 2/3 del total y después 1/5 del mismo. Si al final hay 400 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
Una cinta de 48 cm. se corta en dos trozos uno de ellos tiene los 5/6 del total. ¿Cuál es la longitud de cada trozo.?
Tres grifos llenan un estanque en 1 hora, si funcionan solo los dos primeros en dos horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo el tercero?
Juan, Perico y Andrés hacen un trabajo en 4 días. Juan hace el mismo trabajo en 12 días, Perico en 16. ¿Cuánto tiempo tardaría Andrés?
Los 3/4 del recorrido que hace Amelia para ir al instituto son 600 m. ¿Cuál es la distancia total?
Gertrudis dispone de 300 € para ir de compras el primer día se gasta 3/8 y el día siguiente 3/4 de lo que le quedó. ¿Cuánto gasto y cuánto queda.?
Un padre de 1800 €, le da a su hijo mayor la mitad, al mediano la tercera parte y al pequeño la cuarta. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno y total de dinero que ha repartido el padre.?
Un producto de 420 € se vende en rebajas por 370 € ¿Qué porcentaje se ha rebajado?
El 15 % de una cantidad es 1200 ¿De que cantidad estamos hablando?
Se desea que un artículo con el 6% de IVA se venda por 530 € ¿Cuál es precio antes de aplicar el IVA?
A un producto de 60 € se le aplica una rebaja del 20% y después un IVA del 20% ¿Cuál es el precio final?
Una cantidad aumenta el 5% cada año. ¿Qué porcentaje habrá aumentado al cabo de 3 años.?
Una cantidad disminuye primero el 4% y después el 12 % ¿Que porcentaje ha disminuido?
La altura de un triángulo disminuye el 5% y la base aumenta el 10% ¿Cómo queda el área?
Los precios han subido el primer año el 4,8%, el segundo año el 5,2% y el tercero el 1,3% ¿Qué porcentaje ha subido en tres años.?
¿Qué le ocurre a una cantidad si le aplicamos un 40% de incremento y un 40 % de disminución. ¿Y si realizamos tres veces el mismo proceso?
Un granjero tiene pienso para alimentar 12 vacas durante 30 días. ¿Para cuántos días tendrá si sacrifica 4? ¿Y si en vez de sacrificar 4 compra 8 más?
Un granjero tiene pienso tiene para alimentar sus vacas durante 40 días. Durante una tormenta mueren la tercera parte de los animales y se estropea la mitad del pienso. ¿Cuántos dias podrá alimentar a las vacas restantes?

Potencias y raíces

Potencias de exponentes enteros.

Una potencia en su forma más simple, no es más que una expresión abreviada an , donde a es un número cualquiera que llamaremos base de la potencia, es un factor que se repite, n es el exponente e indica grado de la potencia, el número de veces que tenemos que multiplicar la base por sí misma.

Operaciones

Producto de potencias con la misma base

División de potencias con la misma base

Producto de potencias con el mismo exponente

Potencias con exponente 0

Potencia de otra potencia

Potencia de un producto y de una fracción

Pero:

Potencias con exponentes negativos

Potencias con exponentes fraccionarios

La expresión anterior nos permite expresar una raíz como una potencia de exponente fraccionario y al revés.

Una raíz no es más que una potencia con exponente fraccionario escrita de otra forma, por tanto tienen las misma propiedades que las potencias.