Problemas
- Si los sellos de una
colección se colocan en filas de 5 sobra
uno y si se colocan en filas de 7 faltan 2 ¿Cuántos sellos hay si son
más de 50 y menos de 90?.
- En una comida de empresa
se sirve un plato de ensalada para
cada 4, un plato de entrantes para cada tres y un plato con pescado
para cada dos. Sí en total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántas personas
había.?
- Un niño puede colocar
todas sus canicas en montones de 4 y en
montones de 6 sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas tiene, sy son más de
40 y menos de 50?
- Las canicas de Antonio
son menos de 50 si las coloca de 9 en
9 no sobra ninguna y si las coloca de 11 en 11 sobra una. ¿Cuántas
tiene.?
- Los huevos se venden en
paquetes de docena y media docena.
¿Se pueden comprar exactamente 50 huevos? ¿Cuántos tendremos que
comprar si necesitamos un mínimo de 50?
- De una ciudad salen
vuelos hacia Atenas cada 5 días, hacia
Berlín cada 12 días y hacia Lisboa cada 20. Si coindicen los tres
vuelos el 1 de Enero ¿Cuántos días más coincidirán a lo largo del año.
Fracciones
Una fracción es una división indicada entre dos números: el numerador
dividido por el denominador.
Fracción: División indicada
A cada fracción le corresponde un
número decimal que sería el resultado de realizar la división:
El
hecho de que el número decimal al que equivale la fracción puede ser
demasiado complejo hace preferible trabajar con fracciones y no con sus
expresiones decimales.
Fracciones equivalentes:
Si
en una fracción multiplicamos el numerador y denominador por un mismo
número el resultado de la división será el mismo y a las fracciones les
llamamos equivalentes.

Simplificar fracciones:
Obtener
fracciones equivalentes dividiendo el numerador y denominador por
divisores comunes, cuando ya no hay más divisores comunes la fracción
se llama irreducible.
Más rápidamente: descomponiendo en factores:
Fracciones
Wikipedia
Suma de fracciones
1 Con el mismo
denominador:
Para sumar o
restar
fracciones que tienen el mismo denominador se suman o restan los
dnominadores y se queda el mismo numerador:
2 Suma y resta de fracciones con distinto denominador.
No se pueden sumar o restar sin convertirlas
previamente en fracciones equivalentes con el mismo denominador.
3 Multiplicación y división de fracciones:
Cuando
multiplicamos el numerador de una fracción por un número entero la
fracción queda multiplicada por ese número. Si multiplicamos el
denominador la fracción queda dividida por el número.
Cuando dividimos el numerador de la fracción por un
número, la fracción queda dividida por ese número. Si dividimos el
denominador por un numero toda la fracción queda multiplicada por ese
número
Multiplicación de fracciones
Para
multiplicar una fracción por un número entero se multiplica el
numerador por ese número, también se puede dividir el denominador por
el número dado.
División de fracciones:
Dividir
una fracción por un número entero es los mismo que dividir el numerador
por el número entero o multiplicar el denominador de la fracción
por
ese número.
Para multiplicar una fracción por otra, se
multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el
denominador.
Fracción inversa
Una fracción es inversa de otra cuando su producto
es igual a 1
Los pares de fracciones siguientes son inversas:
Para dividir una fracción por otra dada se
multiplica la fracción por la inversa de la dada.
Ejercicios:
1)
2)
3)
4
5)
6)
7)
8)
9)
Razón y proporcionalidad.
Cuando
estamos hablando de razón de dos números no es mas que uno dividido por
el otro. Una razón es una forma de comparar dos
cantidades. Una razón se puede expresar de estas formas:
El
primer término se llama antecedente y el segundo consecuente. A toda
razón le podemos asociar un número r igual al resultado de la
división. Ejemplos de razones: Velocidad media:
Razón entre la distancia recorrida por un móvil d y el tiempo
empleado t.
Para un ángulo de un triángulo rectángulo: Cociente del cateto contiguo
y la hipotenusa.
Las
razones tienen las mismas propiedades que las fracciones, por tanto se
pueden simplificar o amplificar. La velocidad media de un coche será la
misma si recorre 150 km. en dos horas quesi recorre 300 km. en cuatro
horas. Un porcentaje es una razón, el tanto por 100 es una razón
donde el consecuente es 100.
Proporción
Una proporción es una igualdad de
razones. El primero y el cuarto término de la
proporción se llaman extremos y el segundo y tercero medios.
En la
proporción anterior a y d son los extremos y b y c los
medios.
Propiedades de las proporciones.
El producto de los
extremos es igual al producto de los medios.
Un extremo es igual al
producto de los medios dividido por el otro extremo.
Un medio es igual
al producto de los extremos dividido por el otro medio.
Inverso de
una razón.
Inversa de una razón es uno dividido por esa razón. Si dos
razones forman proporción también lo forman sus inversas.
Cantidades
proporcionales entre sí.
Dos cantidades son proporcionales entre sí,
cuando están relacionadas de tal forma que a un valor de una le
corresponde cierto valor de al otra y si el valor de una se multiplica
o divide por un término cualquiera, el valor de la otra queda
multiplicada o dividida por ese mismo número.
Pensemos
por ejemplo en cierta cantidad de botellas de agua de 8 litros. Las
cantidades número de botellas y litros de agua son proporcionales. Si
el número de botellas se reduce a la mitad, tercera o quinta parte, los
litros de agua quedan reducidos a la mitad, tercera o quinta
parte.
Resolución de problemas.
En
la aplicación de las proporciones a la resolución de problemas se dan
tres de los términos por medio de los cuales debe hallarse el otro. El
términos que se busca se llama incógnita y se representa por x.
Como en
estos problemas se dan tres términos el método para resolverlos se
llama regla de tres.
Calculo de la cuarta proporcional. Ejercicios
resueltos hallad el valor de x en las proporciones
siguientes:
- Si un kilogramo de azafrán cuesta 15000 € ¿Cuánto costarán 200
gr.?
- Doce kilos de patatas cuestan 18 euros ¿Cuántos kilos se
podrán comprar con 25€?
- Se ha estimado que en el peso de un perro
callejero, el 12% son pulgas y el 18% garrapatas.Si el peso de un perro
es de 30 kg. ¿Cuál es el peso de las pulgas y garrapatas?.
- El
censo electoral de un país consta de 400000 electores. En unas
elecciones la cuarta parte votó a la oposición, la tercera al partido
colorado aliado del gobierno y la mitad al partido del gobierno.¿Qué
porcentaje y número de votos obtuvo cada partido?¿Qué se puede decir de
su sistema de gobierno?
- Para
hallar la altura de una torre Paco mide su sombra que es de 70 m. y la
sombra de un palo de 2 m. a la misma hora siendo esta de 3,5 m.
¿Cuál
es la altura de la torre?
Proporcionalidad inversa.
Dos
cantidades son inversamente proporcionales cuando están relacionadas de
tal forma que si una se multiplica o divide por un número cualquiera la
otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Supongamos
que cierto número de hombres necesitan cierto número de días para hacer
una obra. Está claro que si reducimos los hombres a la mitad se
necesitará el doble de días y que si multiplicamos estos por tres, el
número de días quedará dividido por tres. Por tanto el número de días y
el número de hombres son cantidades inversamente proporcionales.
Proporcionalidad inversa. Problemas
Un
caño con un caudal de 15 litros por segundo llena un estanque en 12
horas. ¿Cuánto tiempo tardaría si el caudal fuera de 3 litros segundo.?
Reducción a la unidad:
En hacer cierto recorrido un coche a 70 km/h invierte 2,5 horas.
¿Cuánto tiempo tardaría si fuera a 120 km/h.
Proporcionalidad
compuesta o múltiple
Un
granjero puede alimentar con 60 kg. de pienso a 4 ovejas durante 10
días. ¿Cuantos kilos necesitaría para alimentar a 6 ovejas durante 15
días?
Reducimos el problema a dos de proporcionalidad simple.
Resolución por reducción a la unidad: se trata de saber cuánto come una oveja en un día.
