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Ecuaciones

Ecuaciones



Ecuaciones de primer grado


Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado:



ecuaciones primer gado 1


Ecuaciones primer grado 2


ecuaciones3


Sistemas de ecuaciones de 1º grado:


» 1

» 2

» 3

» 4


» 5


» 6

» 7
 

» 8

» 9
 

» 10
 

» 11



» 12


» 13


» 14



Problemas



Problemas de proporciones







Problemas I

» 1   En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. ¿Cuántos animales de cada tipo hay?

Lápiz

» 2   Un hotel tiene 33 habitaciones entre dobles y simples. Si en total tiene 56 camas ¿Cuántas habitaciones de cada tipo hay?

» 3 ¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros al 25% de grasa.
Lápiz

» 4  Un agricultor tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días. Con el mismo pienso si fuera una oveja tendría para 54 días. ¿Para cuántos días tendría pienso si tuviera que alimentar a un oveja y una vaca.?
Lápiz
» 5 Me faltan 10 € para poder compar un juego de ordenador y si tuviera el doble de dinero me sobrarían 20 €.  ¿Cuánto tengo y cuánto cuesta el juego?

» 6  Cuatro hermanos tienen 45 €. Si el dinero del primero se aumenta en 2 €, el del segundo se reduce en 2 €, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de €. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?


» 7 Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?

Lápiz

» 8 Un padre, al morir, dejó establecido que el hijo mayor recibiría 10000 €. más la quinta parte del resto. El siguiente 20000 €. más la quinta parte del nuevo resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 10.000 € más que el anterior y la quinta parte del resto. Al final todos recibieron igual cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno?

Para resolverlo calcular lo que le corresponde a los dos primeros hijos.


» 8 La señora Justa compró un cierto número de huevos, por los que pagó 6 €. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que el precio le resultó 1,2 €. más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Justa?


» 10 Para que aprendiera matemáticas la madre de Alejandro le puso 26 problemas. Por cada ejercicio resuelto correctamente le daría 3 € y por cada ejercicio no resuelto Alejandro le daría uno a su madre. Alejandro terminó ganando 62 € ¿Cuántos ejercicios resolvió?


» 11  Antonio ha comprado 5 bolígrafos y 4 cuadernos por 7€ Luis ha pagado 4,6 €. por 3 bolígrafos y 4 cuadernos. ¿Cuánto vale un bolígrafo y un cuaderno?


»  12 Cincuenta y seis raciones de pienso han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis raciones y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?


» 13 Manolo compro una entrada de fútbol rebajada en un 10%. Posteriormente la vendió en la reventa por un 20% más de lo que a él le costo. Sabiendo que el comprador consiguió la entrada por 4,8 € más de su precio real. ¿Cuál era este?


» 14 Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres periquitos. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?


» 15 Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. ¿Cuánto vale la docena de limones?

» 16  Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de judías, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?


» 17 Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. En lugar de cortar ningún .pastel a trozos, decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos?




Problemas II


1)  Diofanto, autor del libro mas antiguo del Álgebra, pasó la sexta parte de su vida en la niñez, la duodécima parte en la adolescencia y entonces se casó: después de haber estado casado 5 años mas de la séptima parte de su vida, tuvo un hijo que vivió la mitad que Diofanto y murió cuatro años antes que éste: ¿de qué edad murió Diofanto?
   Lápiz


2) Queriendo Eulogio distribuir los euros  que tenia entre sus sobrinos vio que le faltaban 10 euros para dar a cada sobrino 25 euros y que dando a cada sobrino 20 euros  le sobraban 30, ¿cuántos eran los sobrinos?
 solución
3) Hallar dos números cuya suma es 54 y cuya diferencia es 20 

  solución


4)  Se pusieron dos a jugar con otros y ambos perdieron el uno 12 reales, y el otro 57 reales: el dinero con que éste segundo se levantó del juego era la cuarta parte del que al primero le había quedado, siendo así que los dos se pusieron a jugar con igual cantidad de dinero. ¿Cuál era esta cantidad?


     solución    


5)  Preguntándole a uno qué edad tenía un hijo suyo, respondió: si del doble de su edad se resta el triple de la que tenia 6 años ha resultará su edad actual ¿Cuántos años tenia el hijo?



6)    Siendo en un reloj las 12 en punto y estando por consiguiente el minutero sobre el horario, ¿qué hora será cuando el minutero vuelva a colocarse sobre el horario?


7)    Dispuso uno en su testamento que del capital que dejaba se diesen al mayor de sus hijos 1000 duros y la décima parte del resto, que al hijo segundo se diesen 2000 duros y la décima parle del resto al tercero, 3000 duros y la décima parle del resto y así sucesivamente. Hecho el reparto se vio que todas las partes eran iguales. ¿Cuánta era toda la herencia, cuántos eran los hijos y cuánto correspondió a cada uno ?



8)     Una liebre perseguida por un algo se halla a 60 saltos suyos distante del galgo: la liebre da 3 saltos mientras el galgo da 2, pero 3 saltos del galgo equivalen a 7 de la liebre . ¿Cuántos saltos dará la liebre hasta que la alcance el galgo y cuántos el galgo para avanzar a la liebre?



9)    Teniendo 16 libras de pólvora a 12 reales ¿cuántas libras de a 8 reales se deberán juntar con ellas para que cada libra de la mezcla valga diez reales y medio?


10)   Un caño llena una vasija en 30 horas, otro caño la llena en 20 horas, y un tercer caño llena dicha vasija en 10 horas. Se quiere saber en cuántas horas llenarán la misma vasija los tres caños juntos.

11)  Encontró un gavilán a una bandada de palomas, y las saludó diciendo: bienvenida sea la bandada de las cien palomas, y una le respondió: aunque no vamos cien palomas, sin embargo, con estas otras tantas como estas, la mitad de estas, la cuarta parte de estas, y tu gavilán, componemos ciento cabal. ¿Cuántas palomas iban?

12)    En una sala hay tres estatuas de Juno Júpiter y Febo tales que las dos primeras pesan veinte minas (o arrobas), y la tercera que pesa seis, es igual a la cuarta parte de la primera, mas la tercera parte de la segunda; ¿Cuánto pesa cada una?


13)  Edad de Alejandro



      

Preguntaba Diodoro

Embajador del príncipe de Egipto,

Qué edad tenía el Macedon invicto:

Y luego Artemidoro

Le responde ingenioso:

Dos años tiene mas el belicoso

Rey que su camarada

Efestion, cuyo padre

cuatro mas que los dos enumeraba,

y el padre de Alejandro

cuando noventa y seis giros de Apolo

Los años de estos tres contaba solo.



14) Estando Hércules interesado en quitarle las vacas a Augeo, rey de los eleos, le preguntó cuántas tenía. Esta fue la respuesta.




Hércules vino a visitar á Augéo,

que era muy opulento

y teniendo deseo de robarle sus vacas ciento a ciento

pregunta con cuidado

el número y lugar de su ganado.

Yo señor, dice el venerable anciano,

brevemente respondo:

que en aquel rico llano

cuya orla es oro y esmeralda el fondo

a la margen de Alféo

La mitad de mis vacas pacer veo;

la octava parte de Saturno el monte

turba con sus bramidos

y en distante horizonte

la duodécima tiene destruidos

los valles que es muy fiera;

en el monte, en el prado, en la ribera

la vigésima parte.

En Elide segura se apacenta

De Arcadia ya se aparta

la trigésima; y corren por mi cuenta

cincuenta cuyas voces

hoy son suaves y mañana atroces.

Mover la clava pero no la pluma

sabe el hijo de Alcmena

y así se queda sin saber la suma

del ganado que, en los montes suena,

tu que eres mas experto

el número descubre que he encubierto

15)




homero



    Traducido a lenguaje algebraico







Ecuación de segundo grado


La ecuación mas general de segundo grado después de hechas las transformaciones pertinentes queda reducida a la forma general: 

  



Para hallar la fórmula general:






Los tres primeros términos son el cuadrado de una suma, por tanto se puede poner como un cuadrado




El número que está dentro de la raíz se llama discriminante de la ecuación y el número de soluciones depende del valor de este número.



Ejercicios:

1)



2)



3)



4)



5)



Resuélvanse las ecuaciones siguientes:



Suma y producto de raíces:




Si llamamos s a la suma de las soluciones y p al producto podemos poner:








Sistemas de ecuaciones de segundo grado


»--1



»--2




»--3
 

»--4
 



 
»--5


 
»--6


»--7
 


»--8
 


»--9

 
 

»--10


»--11


»--12







Problemas. Ecuaciones segundo grado

1)    Una vasija recibe agua de dos caños: abriendo un caño hasta que se llena la mitad y luego el otro hasta que se llena la otra mitad pasan 50 minutos. Si los dos la llenan juntos pasan 24 minutos. ¿Cuánto tardaría cada uno de los caños en llenar la vasija?
Lápiz
2    Unos amigos se reparten entre ellos 60€, si estos fueran tres más cada uno recibiría un euro menos. ¿Cuántos amigos eran?
Lápiz

3    Dividir 120 entre dos partes cuyo producto sea 999.

Lápiz
4    Dos caños tardan en llenar una piscina 2 horas y si lo hacen por separado uno tarda tres horas menos que el otro. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en llenar la piscina por separado.?
Lápiz


Problemas III


» 1 Una botella con tapón cuesta un euro. La botella cuesta 60 cts más que el tapón. ¿Cuánto cuesta cada cosa?

» 2 Dos números suman 37 y la diferencia de sus cuadrados 111. Halla estos números.De un tonel lleno de licor se saca la mitad del contenido y después un tercio del resto, quedando en él 200 litros calcula la capacidad del tonel.

» 3 Halla dos números sabiendo que su suma es 14 y la diferencia de sus cuadrados 28.

  » 4 Tres amigos juegan a la lotería y  ganaron 6000 €. ¿Cuánto toca a cada uno sabiendo que el primero juega el doble que el segundo y éste el triple que el tercero?

» 5 Un equipo marcó la temporada pasada 82 goles. Si marco en casa el triple que fuera ¿cuántos goles marcó en casa?

» 6 Dividir 580 en dos partes tales que las 4 quintas partes de la primera más las 3 cuartas partes de la segunda sumen 448.

» 7 Se reparten 143 € entre tres personas de forma que la primera recibe 16 € más que la segunda y ésta 8 más que la tercera. ¿Cuanto le toca a cada uno?

» 8  Dos bombas vacían un depósito en 7 horas. Una de ellas lo vacía en 12 horas. ¿En cuánto tiempo lo vacía la otra?.
» 9  En la primera prueba de un concurso eliminaron al 44% de los participantes, en la segunda al 75% de los que quedaban. Si el número de personas eliminadas fue de 215. ¿Cuántas superaron la prueba?
» 10 Dos ciudades A y B distan 250 km. . A la misma hora sale un coche de cada ciudad en dirección a la otra. El de B a 130 km/h y el de A a 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tardaran en encontrarse?

» 11 Un coche parte de una ciudad a 120 km/h, media hora después sale en la misma dirección otro a 130 km/h.  ¿A cuántos kilómetros de distancia se encontrarán?

»  12 ¿Cuánto tiempo tardará un ciclista a 18 km/h alcanzar a otro a 10 km hora si le lleva 6 km de ventaja?

»  13 Un grifo A arroja el doble de litros que otro B. Abiertos los dos a la vez llenan 26 m³ en 24 horas y 10 minutos. ¿Cuántos litros por hora arroja cada uno?


»  14  Un poste tiene bajo tierra tres octavos de su longitud, tres quintos del resto sumergido en agua y sobresale del agua 4 m. ¿Cuál es la longitud del poste?


»  15 Un padre tiene 70 años y su hijo la mitad. ¿Cuántos años hace que el padre tenía la edad del hijo?


»  16 Uno dice que su edad es igual al doble de los años que tiene menos el triple de los que tenía hace seis años. ¿Cual es su edad?




»  17 Reparte 578 en partes inversamente proporcionales a 4, 6 y 18



»  18 Un depósito tiene un grifo que lo llena en 3 horas, otro en 4 y un desagüe que lo vacía en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse con todo abierto?









Ecuaciones irracionales


1





2



3







INECUACIONES 

Una inecuación es una desigualdad algebraica con al menos una variable o incógnita.





 


 
 

Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de las variables que hacen cierta la desigualdad.


Resolución de inecuaciones con una incógnita.

 

Una inecuación de primer grado se resuelve igual que una ecuación con la única diferencia que si multiplicamos los dos miembros de la inecuación por un mismo número negativo la desigualdad cambia de sentido.

 

Ejercicios




 



 


 

Solución todos los números reales menores o iguales que 4

 

 
 
 








 


 




 

 


 



 
 



Sistemas de inecuaciones
Hay que encontrar los valores de x que cumplen las dos inecuaciones.

   
 

Solución:

 

 

 

 

   

 

Para que se cumplan las dos desigualdades los valores de x tendrán que estar comprendidos entre -5 y 1.

 





 



 


 


 




Inecuaciones de grado mayor que uno


Factorizamos el polinomio y calculamos cuando es cero.




Solución:

Factorizamos el polinomio y calculamos cuando es cero

       
 
Signo de los factores y del producto:

 



 

Será menor o igual que 0 en: