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Álgebra

Álgebra


Definiciones
El álgebra es la parte de la matemática que trata de la cantidad con la mayor generalidad y abstracción. El la aritmética toda las cantidades vienen representadas por números en el álgebra lo son por letras. El número 3, siempre tiene el mismo valor, podrá representar euros, manzanas, kilos, etc.. pero en todos los casos serán tres unidades de euros, manzanas o kilos. En el álgebra la letra x tiene un valor totalmente indeterminado podrá ser el número 3, 1000,  0,5 o el que le interese al calculador.
    En la aritmética todas las operaciones son con datos determinados, en el álgebra con letras y sus resultados aplicables a todos los casos particulares que puedan presentarse.

Fórmulas

Empecemos con un problema:

Nos dan la suma y la diferencia de dos números y nos piden hallad ambos, podemos resolver el problema para este caso concreto o encontrar una fórmula que nos permita utilizarlo para cualquier par de números.

 

Siendo conocidas la suma y diferencia de dos números, hallad cada uno de ellos.


Si el menor de los números fuese conocido x, sumándole la diferencia hallaríamos el mayor. Representamos por s la suma, por d la diferencia, por x el menor y por y el mayor.





Una vez que tenemos una fórmula que nos da el valor del menor a partir de la suma y la diferencia podemos obtener otra para el mayor.





Esta fórmulas traducida al lenguaje ordinario serían:

Para hallar el menor se necesita restar las diferencias de la suma y después dividir el resultado por dos. Para hallar el mayor sumar la diferencia a la suma y dividir por dos el resultado. Es obvio que es preferi

Para hallar el mayor sumar la diferencia a la suma y dividir por dos el resultado. Es obvio que es preferible las expresiones de los recuadros que no los dos últimos párrafos.



Otro ejemplo:

Tenemos dos grifos para llenar un estanque tales que el primero arroja b litros por minuto y el segundo c. . El segundo ha permanecido abierto  d minutos más que  el primero: ¿Cuánto tiempo ha estado abierto cada grifo.?

 

Llamemos x al tiempo que ha estado abierto el primer grifo; el tiempo que ha permanecido el segundo será d+ x




En álgebra el resultado final se expresa por medio de una fórmula aplicable a todos los problemas de la misma especie. Una expresión algebraica es la representación por medio de signos y símbolos de una o más operaciones. Una fórmula es la expresión que nos da el resultado final de un problema.
La expresión

no nos dice nada salvo indicar las operaciones que hay que ejecutar para calcular la superficie de un triángulo.


Una ecuación es una expresión con una igualdad entre dos cantidades, de las cuales, al menos una contiene una o varias incógnitas. En álgebra los problemas se representan por ecuaciones, los números que se buscan, las incógnitas, se representan por letras, los conocidos por cifras o también letras si se busca una expresión mas general.



Más definiciones. Wikipedia









Un poco más largo con todos los pasos.

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 


 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 


 

 

 





Divide:










 


 

División de un polinomio por otro de primer grado.

Regla de Ruffini


Rufini1

Primer paso -3 · 1= -3 → 0 + -3 = -3

Ruffini 2


Segundo -3 · (-3) = +9 3 + 9 = 12

Ruffini 3


Ruffini 5





  Ejercicios resueltos:
Ruffini 11

Soluciones:




Ruffini 12




Ruffini 13



Ruffini 14




ruffini 15

Factorizar un polinomio y calculo de sus raíces

Realiza las siguientes divisiones y comprueba el resultado:


factorizar01


Teorema del resto:

El valor numérico P(a) de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de dividir el polinomio P(x) por x-a .

factorizar

Raíces o ceros de un polinomio son aquellos valores de x para los cuales el valor numérico es cero.

Para que x=a sea una raíz del polinomio P(x) este tiene que ser divisible por x-a

Calcula las raíces de los siguientes polinomios:

factorizar 3



factroizar 4


Halla las raíces y la descomposición factorial de los siguientes polinomios



  1.  
       solución 

  2.     solución

  3.   solución

  4.    solución

  5.   solución

  6.    solución


  7.     solución


  8.     solución







Fracciones algebraicas.

Calcula y simplifica.


1) 
solución




2) 
      solución


3)

    solución

4)



   

5)

   


 

 6)






7)




8)




9)




10)
 

               
solución


11)



12)



                                  solución                                                                             



















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