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Geometría II



 
 


GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ejes de coordenadas.

Dibujamos en el plano dos rectas fijas perpendiculares entre sí que llamaremos eje X o eje de abscisas y eje Y o eje de ordenadas. Al punto de corte O le llamaremos origen de coordenadas. En cada eje elegimos un segmento de longitud unidad y el sentido positivo.







Ejes de coordenadas





Coordenadas cartesianas de un punto.

Una vez definidos los ejes, a cada punto del plano le podemos asociar don números, sus distancias al eje de las Y (abscisa o coordenada x) y distancia al eje X (ordenada o coordenada y). Dependiendo del cuadrante los signos serán positivos o negativos.  

Recíprocamente, a cada par de números en un determinado orden (x , y) le corresponde un punto del plano y solo uno que tiene dicha abscisa y ordenada.




coordenadas


Distancia entre dos puntos:




Distancia entre dos puntos






Punto medio de un segmento.



Punto medio de un segmento


Las coordenadas del punto medio de un segmento son la suma de las coordenadas dividido por dos.



Vectores

Un vector fijo es un segmento orientado que tiene su origen en un punto fijo y su extremo en otro.

Un vector fijo queda determinado:

Por la longitud del segmento que llamaremos módulo del vector.

Dirección de la recta que lo contiene.

Sentido: Uno de los dos que tiene la recta.

Origen del segmento.


Vector

Un vector libre es un segmento orientado con independencia de donde este situado. Está determinado por su módulo, dirección y sentido . En la imagen de abajo hay  5 vectores fijos y solamente dos libres:




Vectores




Las componentes o coordenadas cartesianas de un vector son las coordenadas del extremo del vector menos las coordenadas del origen. A partir de ahora siempre que hablemos de vectores nos referimos a vectores libres.


Operaciones con vectores.



Producto de un número real por un vector.

Para multiplicar un vector pro un número  k se multiplica el módulo del vector por el número real, la dirección se queda igual y el sentido no varia si el número es positivo y cambia si es negativo.

Suma de vectores.

Para sumar vectores se representan un a continuación del otro y el vector suma será el que une el origen del primero con el extremo del último.



Suma de vectores



Combinación lineal.

    Un vector u es combinación lineal de los vectores v  y w si lo podemos poner de la forma   u = a ·v + b ·w siendo a y b números reales. 


    Consideremos los vectores de módulo la unidad y dirección la de dos ejes de coordenadas:  i = (1,0)   , j = (0 , 1).

Cualquier vector z de componentes z = (x1 , y1 lo podemos poner como z =  xi + y1


Las coordenadas del vector suma de otros dos son la suma de las coordenadas de los dos vectores




Proyección del vector v sobre u.


Proyección





Producto escalar de dos vectores.


El producto escalar de dos vectores u y v es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman. Es igual al producto del modulo de u por la proyección del vector v sobre u.

Propiedades.


P escalar





Expresión analítica del producto escalar.


    Dados los vectores u = (x1 , y1)  y v = (x2 , y2)  el producto escalar  sería
 u · v  =  (xi + y1 j) ·  (x2 i + y2 j ) =   x· x2 i·i  +  x1 · y2 i·j  + y1 · x2 j·i + y1 · y2 j ·j =   x· x+ y1 · y2 
Puesto que i·i = j·j = 1 y i·j = j·i = 0





Ejercicios

1) 

1  Calcula el punto medio de los segmentos de extremos A y B:

a)  A(1 , -2)    B(3  , 3)

b)   A(2 , 1)    B (1 , 2)

 


2) 

Calcula el punto medio de los segmentos de extremos A y B:

a)  A(1 , -2)    B(3  , 3))   A(2 , 1)    B (1 , 2)
b)  A(2 , 1)    B (1 , 2)

3) 

De los siguientes vectores agrupa los que tengan la misma dirección.

(-10 , -5)   (4 , -8)  (9 ,  -6)  (-3 , 6)   (10  , -5)  
(3 ,   -2)  (2,   1 ) (3,  6)  (-2,  4)   (-4 , -2)  (-1 ,  2)  
(6,  -4)  (15 , -10)  (-24  , 16)   (-11,  22)   (14 , 7)
4)
Comprobad si están alineados los puntos siguientes:

 

a)  A(-1 , 2)   B(0 , 4)   C (2, 8)
b)  P(-2  , 3)  Q(0 , 1)   R(3  , 2)
c)  M(0  , 3)  N(-1 , 6)  S(2 ,  -3)
d)  E(0,  2)     F(3  , 5)  G(1  , 7)
e) K(3 , 7)    L(5 , 6)   H(1 , 8)

5) 

Dado los puntos A( -2 , 7)  B(3 , -5) halla las coordenadas del punto medio del segmento AB.



6)

Dado el punto A(-1 , 3) halla las coordenadas del punto B para que M(1 , 5) sea el punto medio del segmento AB. Calcula la longitud del segmento BM


7)

Halla λ para que los siguientes vectores sean paralelos:

 

a)  (3 , 2)   (1 , λ)
b)  (-1, 6)   (λ , 2)
c)  (2 , 1)  (λ  ,  ½)
d)  (5 , 3)  (3 ,  λ)


8)

Halla λ para que los vectores anteriores sean perpendiculares.

 

9)
Dados los vectores:     

 

 

Calcula:

 

 


10) 

Dado los puntos A(-1 , 2 )  B(3 , 5), hallad un punto P tal que:

 


 

11
 

Dado el triángulo formado por los puntos A(0 , 5)   B(-2 , -2)   C(3 , 0)   Hallad la longitud de sus lados y el valor de sus ángulos.


Ecuaciones de la recta



 

 

 

 



Ecuación vectorial de una recta:

 

 




 

Recta definida por un punto y un vector:

 

Ecuación vectorial:

 

 

 




 

Ecuaciones paramétricas:

Igualando la componentes de los vectores:

 




 

Ecuación continua

 

 

 




 

Ecuación general o implícita.

 

Si en la igualdad anterior quitamos denominadores y pasamos todo a un miembro queda:

                                       

 



 

La ecuación anterior se puede poner como:

 




 

Ecuación punto pendiente:

 

 

 



 

Ecuación explícita:

 



 

donde m es la pendiente de la recta y h la ordenada en el origen.



Distancia de un punto a una recta

 

 



Ecuaciones de la recta. Ejercicios



1)
 

Halla la ecuación de la recta en forma vectorial, paramétrica, implícita y explícita en los siguientes casos:

 
1)Recta que pasa por el punto P(1, 2) y tiene por dirección el vector V=(2 , -1) 
2)Recta que pasa por los puntos P(3, -2)  y el punto Q(2, 1)
3)Pasa por A(2 , -5) y es paralela al eje de abcisas.
 

 

2) 

Dado un punto y un vector, halla la ecuación vectorial, continua y ecuaciones paramétricas para los siguientes casos:

 




3)
 

Halla la ecuación explicita para las rectas que pasan por los siguientes puntos:

 





4)
 

Dada la recta r 3x-2y+8=0 Calcula:


a)  Ecuación vectorial de una recta paralela que pasa por el punto A(3 , 7).       
b)  Ecuación en forma continua de una recta perpendicular por el punto B(-3, 0)
c) Ecuación explícita de una recta perpendicular por el origen.

 


5)

Dada las rectas

 

 

 

Calcula:
a) Recta que pasa por el origen y por el punto de corte.
b) Recta que pasa por el punto de corte y es perpendicular a la recta s.
c) Recta que pasa por P(-1, 5) y es perpendicular a r.  
d) Distancia del punto Q(1, -3) a las dos rectas.


6)


Dado el triángulo formado por los puntos: A(2 , 3)  B(-4 , 2)  C(2 , 0) calcula:

a) Circuncentro.
b) Mediatriz del lado AB y mediatriz del lado BC.c) Ecuación de la altura que pasa por A y altura que pasa por B.
d) Ortocentro.
e) Longitud de la altura sobre el lado AC y superficie del triángulo.

7)

Dado el triángulo formado por los puntos: A(1 , 1)  B(5 , 3)  C(7 , -2) calcula las coordenadas del baricentro y del incentro.

8) 

Halla el valor de k para que las rectas de ecuaciones :

 



 
formen un ángulo de 45º

 

 

Cónicas

1) 

Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias




2)
 

Halla la ecuación de la circunferencia determinada por tres puntos:

 

a)  A(-1 , 0)   B(1, 1)   C(0, 4)

b)  E(2 , 0)    F(-3 , 0)    G(0 , 4)
c) P(7 , -1)   Q(6 , 2)    R(-1 , -5)



3) 

Halla la posición relativa de la recta 2x-y-3=0 respecto de la circunferencia.

 

x²+y² -3x+3y+2=0

4) 

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(6 , 3) Q(-2 , -5) y tiene el centro en la recta x-3y-17=0

 

 

5) 

Hallad los elementos característicos de las elipses:

 



6)
 

Hallad la ecuación de una elipse para los siguientes casos:

 

a) Eje mayor 50 , eje menor 30
b) Eje mayor 10 distancia focal 8
c) Un foco en (1,0) y pasa por (2, 3)
d) Un foco en (0, 2) y un vértice en (5 ,0)

7)
Hallad los elementos característicos de las hipérbolas

 



8)
 

Halla la ecuación de la hipérbola:

a) Un foco en (4, 0 ) y excentricidad 2.
b) Un vértice en (2,0) y pasa por (4, 3)


9)
Calcular la ecuación de las siguientes parábolas:
  
a) Foco F( 2 , 0) y directriz en x=6
b) Vértice  (0 ,0) foco (0 , -5)
c) Vértice (0, 0)  Directriz x+7=0

10)
Para las siguientes parábolas calcular sus elementos:

       
 

 

 

 





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