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Funciones
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Funciones

 

Hay magnitudes que no siempre tiene el mismo valor: el tiempo que se tarda en hacer un determinad trayecto no es siempre el mismo; la cotización en bolsa de un determinado paquete de acciones; los litros de agua por metro cúbico caídos en un determinado año; velocidad de un cuerpo en caída libre.

Hay otras magnitudes que son constantes: la temperatura de ebullición del agua en condiciones normales; equivalencia en pesetas de un euro; aceleración de la gravedad; valor de pi.

Muchas veces las variables están relacionadas unas con otras, de modo que a cada valor de una dada, le corresponde un determinado valor de otra. La noción de función establece una relación entre dos o más variables. Es uno de los conceptos más importantes en matemáticas  y aparece por primera vez de forma explícita a finales del siglo XVII y principios del XVIII. Leibniz y los Bernoulli lo utilizaron ampliamente y Euler utilizó el símbolo f(x).


 

Para una expresión como


 

Para cada valor que arbitrariamente le demos a la x obtendremos un único valor para la y. Todos los valores que obtengamos para la y dependerán de los valores que le demos a la x. A la variable x le llamaremos variable independiente y a la variable y variable dependiente o función. La palabra función sirve por tanto para nombrar la función y la variable dependiente. Los valores siguientes forman parte de los infinitos valores que la tiene la función de arriba.

 

 

 


La geometría analítica resulta un instrumento importante para el estudio de las funciones y nos permite tener una representación gráfica de las mismas.

 

Definiciones:
Una función se puede definir de varias formas:

Regla que asocia a cada número real, otro número real


Correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto de números otro número.


Relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Dados dos conjuntos A y B una función es una aplicación de A en B , deón es una aplicación de A en B , de forma que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. forma que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

 

 

 

Dominio de definición

Todos los valores de la variable independiente para los cuales podemos encontrar un valor de la función.


Recorrido

Todos los posibles valores de la variable dependiente.

 

 

Notación:

 

 

 

 

Gráfica

La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x,y) tal que y=f(x).

 

 

Una función puede venir dada por una tabla de valores, una gráfica, o una expresión analítica (fórmula) y está puede ser explícita o implícita.

Función explícita


 



Función implícita

 


 

 

Ejercicios:

 

Calculad el dominio de definición de las siguientes funciones:

 

1)

 

2)

 

 

 

3)

 

4)

 

5)

 

 

Soluciones

1)

El dominio de definición es el conjunto de valores de x para los cuales se puede calcular la función como son raíces cuadradas, serán todos los valores de x que hagan positivo lo que está dentro de la raíz:

 

 

2)       Se pueden calcular siempre que no sea cero el denominador, por tanto el dominio de definición serán todos los reales excepto los que anulen al denominador.

 


 

3)   La función exponencial se puede calcular siempre que exista el exponente, por tanto el dominio de definición serán todos lo reales R.

3)Los logaritmos se pueden calcular para valores mayores que cero.

 

 

5)  Siempre que se pueda calcular las dos raíces 



































Valor absoluto de una función








Simetrías


Límites de funciones



Calcula las asíntotas de las siguientes funciones



Propiedades de las funciones


Para las funciones anteriores halla:

Dominio de definición

Continuidad

Simetrías

Signo de la función

Comportamiento de la gráfica respecto de las asíntotas verticales.



Funcion exponencial y logaritmica





Funciones trigonométricas







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